数 学 通 识 讲 义
读题即翻译：同一律
学段 初中 · 关联知识点「逻辑推理」
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读 · 引子·钩子读这道题："一个两位数，个位与十位上的数字之和是 $9$，把两个数字对调后得到的新数，比原数大 $9$，求原数。"你可能想直接猜。可高手第一步是翻译：设十位是 $a$、个位是 $b$，"两位数"$=10a+b$，"数字之和是 $9$"$=a+b=9$，"对调"$=10b+a$，"大 $9$"$=10b+a=(10a+b)+9$。四句中文，变成四行数学——题目还没开始"算"，已经解了一大半。这就是读题即翻译：解题的第一步不是想，是把每个字译成精确的数学。
讨论 · 猜想·预测先押一注：数学题做错，最常见的祸首是"算错"，还是"根本没读对题"？读完再回来看。
读 · 概念读题即翻译：把自然语言里的每个条件，一一译成精确的数学对象或关系——给未知起名字（设元），把每句话变成等式、不等式或集合关系。守在背后的是同一律：翻译前后，意思"是其所是"，不增、不减、不偏。"至少一个"就是 $\ge1$，不是"恰好一个"；"两位数"就是 $10\le n\le99$。译错一个词，后面算得再对也白搭。
读 · 延伸·旁注常用『中译数』词典
解题时反复用到的一批"翻译对照"，读题时对着译：
- "至少一个" → $\ge 1$；"至多一个" → $\le 1$；"恰好" → $=$
- "连续三个整数" → $n-1,\ n,\ n+1$；"连续偶数" → $2k,\ 2k+2$
- "$a$ 能被 $b$ 整除" → $b\mid a$，即 $a=bk$；"$a$ 除以 $b$ 余 $r$" → $a=bq+r,\ 0\le r
- "两位数" → $10a+b\ (1\le a\le9)$；"三位数" → $100\le n\le999$
- "$p$ 是 $q$ 的充分条件" → $p\Rightarrow q$；"充要条件" → $p\Leftrightarrow q$
- "增加了 $20\%$" → $\times1.2$；"打八折" → $\times0.8$
做 · 例题精析一个两位数，个位与十位数字之和为 $9$，对调两位数字后，新数比原数大 $9$。求原数。
读逐句翻译：设十位 $a$、个位 $b$——两位数 $=10a+b$；$a+b=9$；对调 $=10b+a$；新数大 $9$：$10b+a=(10a+b)+9$。
思翻译完，题目就变成解方程组 $\{\,a+b=9,\ 9b-9a=9\,\}$。
写第二式化简为 $b-a=1$，与 $a+b=9$ 联立得 $a=4,\ b=5$。
原数 $=45$（验：$45$ 数字和 $9$，对调成 $54=45+9$ ✓）。∎ 难的从来不是解方程，是把中文读成方程。
读 · 公式推导·分步一句容易译错的话
"$a,b,c$ 不都是正数。"——很多人顺手译成"都不是正数"，错。
『不都』的准确翻译
"都是正数" $=(a>0\ 且\ b>0\ 且\ c>0)$；它的否定"不都是" $=(a\le0\ 或\ b\le0\ 或\ c\le0)$，即"至少一个非正"。
对照『都不是』
"都不是正数" $=(a\le0\ 且\ b\le0\ 且\ c\le0)$，即"全都非正"——比"不都是"强得多。一字之差，翻译天差地别。
讨论 · 误区·辨析读题三个坑：① 漏读条件——题目给的每个数、每个词都有用，漏一个就少一个方程；② 添读脑补——题目没说的别自己加（没说"正整数"就别默认；忠于材料，别脑补）；③ 拿日常义当数学义——数学的"或"是可兼的、"任意"是全称、"或者…或者"未必互斥。读题，读的是数学义。
做 · 巩固练习- "连续三个整数的和是 $2019$，求最大的那个。"先翻译，再求解。
设中间数为 $n$，三数为 $n-1,n,n+1$，和 $=3n=2019\Rightarrow n=673$，最大数 $=674$。（把"中间数"设成未知，是个省事的翻译选择。）∎
做 · 挑战·BOSS★ "把一个真分数的分子加 $1$、分母加 $2$，所得分数与原分数相等；又知原分数的分子比分母小 $3$。求原分数。"
设原分数 $\dfrac ab$。"加后相等"：$\dfrac{a+1}{b+2}=\dfrac ab$；"分子比分母小 $3$"：$a=b-3$。前式交叉相乘 $b(a+1)=a(b+2)\Rightarrow b=2a$。代入 $a=b-3=2a-3\Rightarrow a=3,\ b=6$。原分数 $=\dfrac36=\dfrac12$。∎