数 学 通 识 讲 义
概率：给不确定称重
学段 初中
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读 · 引子·钩子掷两颗骰子，"点数和为 $7$"和"和为 $2$"，哪个更容易出现？直觉也许觉得"都是一个数，差不多"。可数一数：和为 $2$ 只有 $(1,1)$ 一种；和为 $7$ 有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ 六种。总共 $36$ 种等可能结果——和为 $7$ 概率 $\frac6{36}$，和为 $2$ 只有 $\frac1{36}$，整整六倍。随机看似"说不准"，可只要会数，就能给每一种可能精确称重。这，就是概率。
讨论 · 猜想·预测先押一注："随机"是彻底的无规律、无从把握，还是"单次任性、大量老实"？读完再看。
读 · 概念古典概型：若一次试验的所有结果有限且等可能，则事件 $A$ 的概率 $P(A)=\dfrac{A\ \text{包含的结果数}}{\text{所有结果数}}$。概率是 $0$ 到 $1$ 之间的数：$0$ = 绝不发生，$1$ = 必然，$\frac12$ = 势均力敌。于是"算概率"就化归成了"数数"——数清"有利的"和"全部的"（这正是【构造 / 枚举】的用武之地）。
读 · 直觉·图像掷一次硬币，正反说不准；可掷 $n$ 次，正面出现的频率（正面次数 $\div\,n$）会随 $n$ 增大越来越稳，逼近 $\frac12$——这个稳定的值，就是概率。单次的任性，在大量重复里，收敛成一个定数。（这里已用到【有限与无限】：用"无限次的极限"来定义"单次的可能性"。）
做 · 例题精析袋中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，任取 $2$ 个，求"两个都是红球"的概率。
读等可能地取 $2$ 个，概率 = 有利结果数 $\div$ 总结果数。
思总数 $\binom52=10$；两个都红 $\binom32=3$。
写$P=\dfrac{3}{10}$。
$\dfrac3{10}$。∎ 概率题的核心，是把它翻译成两次"数数"：分母数全部，分子数有利。
读 · 公式推导·分步正面难，就算反面
求"至少一个红球"，正面要分"恰一红""恰两红"，烦。
对立事件
它的对立面是"一个红球都没有"（两个都白）：$P=\dfrac{\binom22}{\binom52}=\dfrac1{10}$。
用 1 减
$P(\text{至少一红})=1-P(\text{无红})=1-\dfrac1{10}=\dfrac9{10}$。（这正是【补集与容斥】在概率里的化身。）
讨论 · 误区·辨析概率三个坑：① "等可能"是前提——结果不等可能时不能直接数数相除（"明天下雨 / 不下雨"绝不是各 $\frac12$）；② 别混频率与概率——频率是实测、会波动，概率是理论上的极限；③ 赌徒谬误——前面连出 $5$ 次正面，第 $6$ 次仍是 $\frac12$，硬币没有记忆。
做 · 巩固练习- 从 $1\sim9$ 中任取一个数，求"取到质数"的概率。
$1\sim9$ 中质数为 $2,3,5,7$，共 $4$ 个；总数 $9$。$P=\dfrac49$。∎
做 · 挑战·BOSS★ 甲、乙两人各自随机报一个 $1\sim6$ 的整数，求"甲报的数大于乙报的数"的概率。（提示：用对称。）
共 $6\times6=36$ 种等可能结果。"甲 $=$ 乙"有 $6$ 种。剩下 $30$ 种里，"甲 $>$ 乙"与"甲 $<$ 乙"由对称各占一半，即各 $15$ 种。故 $P(\text{甲}>\text{乙})=\dfrac{15}{36}=\dfrac5{12}$。∎ （对称让你不必逐一去数——这是【对称】那把刀。）